黄金比例在数学界，黄金比例 φ\varphiφ 堪称”颜值担当”，不仅在几何、代数中大放异彩，还频频出现在艺术、建筑、自然界。让我们一起揭开黄金比例的神秘面纱！
定义数学定义
定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。
黄金比例的定义黄金比例是将一条线段分成两部分，使得全长与较长部分之比，等于较长部分与较短部分之比。
设线段全长为 a+ba+ba+b，较长部分为 aaa，较短部分为 bbb，则：
a+ba=ab=φ\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphiaa+b=ba=φ 符号说明符号类型读音/说明在本文中的含义φ\varphiφ希腊字母Phi（费/菲）黄金比例，约等于 1.618 方程黄金分割方程 x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1 的由来：
设一条线段分为两段，较长一段为 aaa，较短一段为 bbb，全长为 a+ba + ba+b。黄金分割的定义是： a+ba=ab=φ\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphiaa+b=ba=φ设比例 x=abx = \frac{a}{b}x=ba，则 a=xba = x ba=xb，a+b=xb+b=(x+1)ba + b = x b + b = (x+1) ba+b=xb+b=(x+1)b。代入定义式： a+ba=(x+1)bxb=x+1x=x\frac{a+b}{a} = \frac{(x+1)b}{x b} = \frac{x+1}{x} = xaa+b=xb(x+1)b=xx+1=x整理得 x+1=x2x + 1 = x^2x+1=x2，即 x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1。 解方程解这个方程的步骤如下：
方程为 x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1，移项得 x2−x−1=0x^2 - x - 1 = 0x2−x−1=0这是一个一元二次方程，使用求根公式： x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac 其中 a=1, b=−1, c=−1a=1,\ b=-1,\ c=-1a=1, b=−1, c=−1代入得： x=1±12−4×1×(−1)2=1±1+42=1±52x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}x=21±12−4×1×(−1)=21±1+4=21±5因为黄金分割是正数，取正根：φ=1+52≈1.6180339887…\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\ldotsφ=21+5≈1.6180339887… 代数性质φ\varphiφ 满足方程 x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1。φ\varphiφ 是无理数。φ\varphiφ 的倒数很有趣： 1φ=φ−1\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1φ1=φ−1φ\varphiφ 的平方也很有趣： φ2=φ+1\varphi^2 = \varphi + 1φ2=φ+1 经典公式与斐波那契数列斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,…1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots1,1,2,3,5,8,13,…随着 nnn 增大，Fn+1Fn→φ\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphiFnFn+1→φ斐波那契数列的通项公式： Fn=φn−(1−φ)n5F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}Fn=5φn−(1−φ)n 趣味事实黄金比例被誉为”最美的比例”，在自然界（如向日葵花盘、贝壳、松果）、艺术（如蒙娜丽莎、帕特农神庙）、设计中频繁出现。信用卡、名片、书籍的长宽比常常接近黄金比例。人体的某些比例也接近 φ\varphiφ，比如肚脐到头顶与全身高度之比。φ\varphiφ 的小数部分无限不循环。 数学意义与性质φ\varphiφ 是无理数。φ\varphiφ 满足 φ2=φ+1\varphi^2 = \varphi + 1φ2=φ+1，φ−1=1/φ\varphi - 1 = 1/\varphiφ−1=1/φ。斐波那契数列与黄金比例密不可分。黄金矩形、黄金螺线等几何图形都与 φ\varphiφ 有关。 练习题练习 1写出黄金比例的定义和精确表达式。
答案与解析 (3 个标签)黄金比例 定义 精确表达式定义：a+ba=ab=φ\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphiaa+b=ba=φ；精确表达式：φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}φ=21+5。
练习 2黄金比例满足什么代数方程？
答案与解析 (3 个标签)黄金比例 代数方程 特征方程x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1。
练习 3斐波那契数列与黄金比例有何关系？
答案与解析 (3 个标签)黄金比例 斐波那契数列 通项公式Fn+1Fn→φ\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphiFnFn+1→φ，且通项公式 Fn=φn−(1−φ)n5F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}Fn=5φn−(1−φ)n。
练习 4下列哪个数是无理数？(A) 2\sqrt{2}2(B) π\piπ(C) φ\varphiφ(D) 以上都是
答案与解析 (3 个标签)黄金比例 无理数 考研真题(D) 以上都是。
练习 5黄金比例的精确值是多少？
答案与解析 (3 个标签)黄金比例 精确值 考研真题φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}φ=21+5。
总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义φ\varphiφ希腊字母Phi（费/菲）表示黄金比例中英对照中文术语英文术语音标说明黄金比例golden ratio/ˈɡəʊldən ˈreɪʃiəʊ/将线段分成两部分，使得全长与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比黄金分割golden section/ˈɡəʊldən ˈsekʃən/与黄金比例同义，描述线段分割的比例关系无理数irrational number/ɪˈræʃənəl ˈnʌmbə/不能表示为两个整数之比的实数斐波那契数列Fibonacci sequence/fɪbəˈnɑːtʃi ˈsiːkwəns/从 1, 1 开始，每个数是前两个数之和的数列渐近线asymptote/ˈæsɪmptəʊt/函数或序列的极限值 上一章节 圆周率 详细介绍圆周率 $\pi$ 的定义、性质、历史、趣味事实及相关习题。下一章节 有理函数 课程路线图1高等数学之函数探秘
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